Introduzione

Un fotorecettore CCD è costituito da elementi virtuali, quadrati o rettangolari, chiamati pixel , ognuno dei quali trasforma e conserva sotto forma di elettroni i fotoni che lo hanno colpito durante la posa. Il rapporto fra il numero di elettroni prodotti ed il numero di fotoni incidenti è chiamato efficienza quantica : per esempio, un'efficienza quantica 0,5 ( 50% ) indica che il pixel genera e conserva un elettrone in media ogni due fotoni incidenti. In fig.1a è schematicamente rappresentata l'efficienza quantica del CCD Lynxx PC in funzione della lunghezza d'onda della radiazione incidente.

E' evidente la complessa struttura della funzione di sensibilità spettrale e la differenza fra il CCD ed l'occhio o l'emulsione fotografica, le cui efficienze quantiche sono riportate nella fig.1b, in scala diversa. L'efficienza quantica del CCD resta costante indipendentemente dal tempo di posa, mentre quella dell'emulsione fotografica cala al crescere del tempo di esposizione ( difetto di reciprocità ). Ciò significa che il numero di elettroni registrati da un pixel durante l'osservazione di una sorgente di radiazione costante è legato linearmente al suo tempo di posa o al prodotto del tempo di posa per l'intensità della radiazione incidente, fattore noto col nome di esposizione in fotografia.
Questa caratteristica rende il CCD nettamente superiore all'emulsione fotografica nelle misure di fotometria, sia puntuale ( stelle, asteroidi ) che di oggetti estesi ( nebulose, galassie, superfici planetarie, Sole e Luna ). La linearità dei CCD commerciali si estende generalmente su di un intervallo di 50.000-150.000 elettroni.
La capienza di un pixel di accumulare elettroni, chiamata full-well capacity, è finita ed altrettanto finita è la sua possibilità di registrare stelle di magnitudine differente. Per esempio, il valore di 150.000 rappresenta all'incirca la full-well capacity del pixel del CD adottato dalla Lynxx e dall'ST4. Pertanto l'intervallo di linearità fotometrica di tale CCD copre quasi 13 magnitudini, contro le 3-5 magnitudini che caratterizzano la porzione lineare della curva caratteristica di un'emulsione fotografica. CCD con full-well capacity inferiore, per esempio 50.000 , come nel caso dell'ST6, perdono proporzionalmente ( in questo caso più di una magnitudine ) nell'intervallo di linearità. Il convertitore analogico-digitale ( A/D converter ) quantifica e trasferisce al computer il contenuto di elettroni, cioè la carica elettrica accumulata, del singolo pixel. Nei casi commerciali esso può funzionare a 8, 12, 14, o 16 bit e questi valori limitano le caratteristiche fotometriche del CCD. Infatti, il trasferimento del contenuto di un pixel ( al meglio uguale alla full-well capacity per un'immagine ben satura ) avviene rispettivamente in 256, 4096, 16.384 o 65.536 pacchetti. I differenti convertitori permettono di quantificare una parte dell'intervallo di magnitudine, la parte rimanente essendo compresa nell'ultimo pacchetto ( conteggio uguale a 0 ). A partire dell'immagine satura, i vari convertitori permettono di quantificare un intervallo di 6, 9, 10.5, 12 magnitudini, rispettivamente. Per esempio un convertitore a 8 bit fornisce il valore 256 per un pixel pieno: supponiamo che sia relativo ad una stella di magnitudine 10. Lo stesso convertitore fornisce il valore 1, che è il minimo quantificabile, per una stella 256 volte più debole della 10^, cioè di magnitudine 16.
Tutte le stelle più deboli della 16^ sono quantificate nel livello 0 del convertitore e quindi scompaiono dal visore. Un convertitore a 12 bit fa guadagnare 3 magnitudini, rispetto ad uno a 8 bit ; il guadagno di 1,5 magnitudini ogni 2 bit, sia passando da 12 a 14 bit che passando da 14 a 16 bit.
Sembrerebbe che ampliando il numero di bit del convertitore, si potesse ampliare illimitatamente la precisione del CCD. Ciò è illusorio in quanto, ad un certo livello, prevale il rumore intrinseco del CCD, cioè gli elettroni emessi dallo stesso termicamente, ed il bias, cioè il rumore legato al trasferimento dell'immagine dal CCD al computer, rispetto al segnale proveniente dalle stelle. Il rumore termico è abbassato raffreddando il CCD, ma il bias è fisso e ha solitamente un valore prossimo a qualche centinaio di conteggi. Supponendo che il bias sia 100 e che la full-well capacity sia 150.000 si calcola sufficiente un convertitore che quantifichi 1500 livelli, cioè compreso fra 10 ed 11 bit. Solo se il bias è più basso si ha la convenienza ad aumentare il numero di bit nel convertitore A/D.
In definitiva, la scelta economicamente più conveniente e scientificamente ineccepibile è di un convertitore a 12 bit : un convertitore più sofisticato non dà un guadagno fotometrico che giustifichi il maggior costo. Qualora, l'accumulo di elettroni per pixel superasse la full-well capacity si avrebbe un travaso degli elettroni in eccesso nei pixel adiacenti, con deformazione a goccia dell'immagine stellare. In tal caso il conteggio per il pixel pieno è pari al valore massimo dell'ADU e la fotometria risulta impossibile, essendosi raggiunta la saturazione del CCD. Poiché è possibile cambiare il tempo di posa, l'intervallo di linearità fotometrica può essere posto fra le magnitudini massima e minima che interessa studiare.
Per esempio, se si vuole fotometrare una stella di magnitudine 6 è bene che l'intervallo di linearità si estenda da 5 a 11 con un convertitore ad 8 bit.
Si tenga conto che a 2,5 magnitudini dal valore limite, la precisione fotometrica è dell'ordine di 0.1 , mentre per avere una precisione di 0.01 magnitudini, bisogna lavorare a 5 magnitudini dal limite. Per avere il millesimo si deve restare a 7.5 magnitudini dal limite, cosa che si può fare solo con convertitori superiori a 10 bit.
Se il fattore tempo non fosse sufficiente ( per esempio una stella di magnitudine 0 supera la full-well capacity del CCD Lynxx anche con 0.01 s di posa se si usa un 400mm di diametro ) si può diminuire la luminosità dello strumento diafframmandolo. Un riflettore, specie quelli con otturazione già molto elevata, va diaframmato in modo eccentrico per evitare di aumentare in modo proibitivo il fattore di otturazione.

I filtri

La sensibilità spettrale del CCD ( fig.1 ) è così differente da quella dell'occhio e delle emulsioni fotografiche, orto o pancromatiche, da consentire di effettuare misure fotometriche nelle bande B e V di Johnson, ma anche nelle bande R, I e Z dell'estensione di Johnson-Cousins. La banda U non viene presa in considerazione in quanto l'efficienza quantica del CCD in questa regione è paragonabile o addirittura inferiore a quella di un'emulsione fotografica.
E' ben noto che per riprodurre le bande della fotometria di Johnson sono necessarie opportune combinazioni ottica-filtro-rivelatore. Nel caso di un riflettore alluminato e dell'emulsione fotografica, per esempio, si ottengono le bande B e V con le combinazioni seguenti :
Kodak 103a-O + Schott GG385, 1mm (B) ; Kodak 103a-D + Schott 485, 1 mm (V).
A causa della sparizione dal mercato delle emulsioni spettroscopiche Kodak, in luogo della 103a-O si può usare una qualsiasi ortocromatica ( per es. pellicole da raggi X ) ed in luogo della 103a-D si può usare la T-Max, in combinazione con gli stessi filtri. Questi filtri sono trasparenti nella regione della lunghezze d'onda superiori a 700nm e perciò non sono adatti alla combinazione col CCD, dato che esso estende la sua sensibilità ben al di là di 700nm, fino a circa 1100nm.
Neppure i cosiddetti filtri a banda passante, che potrebbero da soli trasmettere regioni spettrali paragonabili alle bande di Johnson, sono adatti alla combinazione col CCD, in quanto sono di solito più o meno trasparenti nella regione oltre 700nm, cioè presentano il cosiddetto red-leak (perdita, trasparenza nel rosso).
Da considerazioni sull'andamento dell'emissione spettrale delle stelle di vari tipi si può ricavare che, specie per stelle molto rosse, non è tollerabile nelle bande B e V un red-leak superiore a 1 su 100.000 se si desidera una precisione fotometrica migliore del centesimo di magnitudine.
Non essendo disponibili singoli filtri colorati con le caratteristiche descritte è necessario costruirli incollando tra loro due o più filtri adatti, formando così dei sandwich piuttosto spessi. La ricetta che proponiamo in tabella I è tratta dall'esperienza dell'ESO, ha uno spessore di 4mm e soddisfa le esigenze di una buona fotometria.

Tabella I. Composizione dei filtri da accoppiare a un CCD per eseguire la fotometria nelle bande B,V,R,I e Z di Johnson-Cousins (sigle della Schott)

Rimane un problema per la banda I, per ottenere la quale sarebbe stato necessario aggiungere un filtro laser YAG della Balzers di 5mm di spessore, con il compito di chiudere la curva alle alte lunghezze d'onda. E' stato ritenuto di non realizzare questo filtro sia per l'elevato suo spessore finale, differente da quello degli altri e che avrebbe rappresentato problemi di messa a fuoco e montaggio, sia per l'elevato costo, da solo superiore a quello dell'intera serie. Ciò determina che misurando col filtro I si ottiene in effetti  una misura I+Z. Effettuando pure una lettura nella banda Z e sottraendola dalla lettura precedente si ottiene il valore di I corretto.
I filtri descritti possono essere ordinati alla Shott tramite la sua rappresentante per l'Italia, la Italglass di Genova o alla ditta Gambato.
Usando i filtri suggeriti solo una frazione della luce che entra nel telescopio va a colpire il CCD. Pertanto il tempo di posa cambia di molto se si opera in presenza o assenza di filtri. Per esempio, se il tempo di posa senza filtri è di 10 secondi, con il filtro B può salire a 100 secondi; con il filtro V a 60 secondi; con i filtri R e I a 30 secondi; con il filtro Z a 90 secondi. Per inciso la terna di filtri B,V e R permette di effettuare una perfetta tricromia. Registrando nelle tre bande le immagini di un soggetto ( pianeta, nebulosa, stelle ) con tempi di posa che tengano conto del fenomeno sopra descritto e ricomponendole con un oppertuno programma, si ottengono immagini i cui colori sono perfettamente confrontabili con quelli osservabili ad occhio nudo. In assenza di questo accorgimento le immagini CCD sono molto differenti dalle corrispondenti visuali a causa delle differenze fra il CCD e l'occhio illustrate in fig.1 .

La calibrazione fotometrica

La calibrazione fotometrica del CCD è necessaria per convertire i conteggi ADU relativi all'immagine delle stelle ( o ad un quadro d'apertura di pixel per un oggetto esteso ) in magnitudini. In principio, il numero di elettroni reperiti nei pixel che compongono l'immagine di una stella diviso per l'efficienza quantica del rivelatore dovrebbe dare il numero di fotoni ricevuti dal telescopio e provenienti dalla stella oggetto di misura. In pratica i fotoni che la stella invia in direzione dello strumento non colpiscono tutti il CCD per molte ragioni, che elenchiamo brevemente. Parte dei fotoni viene assorbita passando attraverso l'atmosfera, parte è intercettata dal secondario e dal suo sostegno nel caso di uno strumento riflettore; parte viene persa per insufficiente riflettanza dell'alluminatura degli specchi ( o per assorbimento delle lenti di un rifrattore ); parte viene diffusa dalla sporcizia presente sulle superfici ottiche; parte viene perduta per riflessione da parte dei filtri, delle finestre ottiche e del CCD stesso. Infine il CCD registra solo la frazione di fotoni incidenti pari alla sua efficienza quantica. Fa una notevole impressione pensare che con un riflettore che non sia alluminato di fresco si possono rivelare solo il 30% dei fotoni inviati dalla stella nella banda V ed appena il 15% dei fotoni nella banda B.
Per ovviare alla difficoltà di misurare tutte le perdite elencate si effettua una calibrazione fotometrica del CCD mediante l'osservazione di stelle di magnitudini B, V, R ed I note. Cataloghi di tali stelle, con la precisione dell'ordine di qualche millesimo di magnitudine, sono stati prodotti da Landolt lungo tutto l'equatore celeste ogni ora di AR e, ogni 6 ore di AR, lungo l'arco di declinazione da +40° a -30° circa.
Esemplifichiamo il caso che si osservi con il CCD il gruppo di stelle che si trova a circa 7h di AR: le loro magnitudini sono riportate in Tabella II insieme con le relative coordinate.

Tabella II. Catalogo di stelle attorno a 7h di AR.

Si tratta di stelle comprese tra la magnitudine 7 e 11, che possono essere riprese con un 400mm ed una camera Lynxx PC con circa un minuto di posa (magnitudine limite di circa 16 con il cielo di Padova di centro città). Effettuiamo quattro pose su ogni stella della serie, una in ogni banda fotometrica, scegliendo i tempi di posa che danno i valori massimi di lettura per il pixel centrale, senza, però, superare il livello di saturazione. Sarebbe bene che i vari campi fossero tutti alla stessa distanza zenitale ( cosa che accade nell'esempio fatto data la reciproca vicinanza delle stelle in A.R.) e uguale a quella dell'oggetto da misurare, in modo cge la luce dei vari corpi subisca lo stesso assorbimento atmosferico. Se non è possibile essere sicuri di questo è necessario registrare anche l'immagine di stelle che stanno a varie distanze zenitali. Queste misure permetteranno di determinare l'assorbimento atmosferico in funzione dell'altezza dell'astro sull'orizzonte nelle notte in questione.
Sui frames registrati misuriamo, mediante l'opzione Mesure Intensity del men Analyze e dopo aver scelto una dimensione opportuna (size) per la cornice che racchiuderà la stella da fotometrare, il contenuto dei pixel che formano l'immagine di una stella nella posa B. Supponiamo di ottenere il valore 22.351. Con la stessa cornice misuriamo il contenuto dei pixel di cielo in 3-4 zone intorno alla stella, evitando di comprendervi delle stelle e facendo la media fra i valori ottenuti.
Supponiamo di ottenere i valori (570+610+590)/3=590. Sottraendo questo valore da quello precedente otteniamo un numero di conteggi ADU proporzionale alla luminosità della stella nella banda B (21.761). Ripetiamo la misura per tutte le altre stelle nella banda B, ottenendo i valori riportati nella quarta colonna di Tabella III. 

Tabella III. Esempi di misure fotometriche per pose di 20 sec., con letture ADU normalizzate a 60 sec.

In maniera identica misuriamo le stesse stelle in banda V, ottenendo la ottava colonna della Tabella III. Se siamo interessati alla magnitudine Bo V le misure sono finite e si passa ai calcoli. Se siamo interessati anche alle altre magnitudini, completiamo le misure delle stesse stelle sui frames ottenuti con i filtri R, I e Z.
In luogo delle letture dirette I riportiamo le differenze I-Z ( per le ragioni esposte sopra a proposito del filtro I ). Se i filtri ed il sensore CCD usato fossero identici a quelli di Johnson e Cousin i valori di magnitudine locale sarebbero espressi, a meno di una costante numerica, dalla relazione :

B_l = -2,5 log (ADU)_b

dove (ADU)_b  rappresenta il valore di conteggi ADU nella banda B ( quarta colonna di Tabella III ) diviso per il tempo di posa in minuti ( quindi normalizzato per la posa di un minuto ). Questo valore di magnitudine va corretto sottraendogli una costante negativa C_b , che rappresenta la magnitudine locale di una stella di magnitudine apparente 0.00. Inoltre per quanto progettati accuratamente, i filtri locali non sono mai identici a quelli standard, per cui è necessario effettuare un'ulteriore correzione che risulta funzione del colore della stella, espresso dal suo indice di colore (B-V). In definitiva, le magnitudini Bs delle stelle standard sono legate alle loro magnitudini locali B_l dalla relazione :

B_s = B_l + C_b + k_b (B-V)

dove k è la costante di correzione per il colore. Se disponessimo di una sola stella l'equazione non sarebbe risolvibile (ammetterebbe infinite soluzioni) avendo due incognite, C e k. Misurando almeno due stelle possiamo ricavare le incognite mediante la risoluzione di un sistema. Ancora meglio, dalle misure di tabella III possiamo ottenere un grafico diagrammando (B-V) (II colonna) in ascissa e (B_s-B_l) (VII colonna) in ordinata. Infatti riarrangiando l'equazione precedente si ottiene:

(B_s-B_l) =  C_b + k_b (B-V)

che, nello spazio cartesiano descritto, risulta l'equazione di una retta di pendenza k_b e di intercetta C_b . E' logico che il valore di k si stima tanto meglio quanto più differenti sono i colori delle stelle usate: nella Tabella II, infatti, sono presenti stelle con (B-V) compreso tra -0.088 e +1.535 . La procedura va ripetuta per i conteggi ADU delle immagini in V,R ed I, o almeno di quelle che interessano. Si ottengono così tante coppie di valori, C e k, una per ogni banda fotometrica. I valori di k (solitamente compresi fra 0 e 0,3) sono caratteristici dell'insieme strumentale utilizzato, ma possono cambiare col progressivo degrado dell'alluminatura, con l'accumularsi di sporcizia sulle varie superfici ottiche, con l'invecchiamento dell'elettronica. Un loro controllo trimestrale, effettuato con la metodologia esposta, serve a tenere d'occhio le variazioni. I valori di C cambiano da notte a notte poiché questo termine contiene anche l'effetto dell'assorbimento atmosferico. E' quindi necessario determinarli all'inizio di ogni seduta osservativa ( e controllarli più volte durante la seduta stessa ) mediante più misure di una singola stella standard che alla fine vengono mediate. Il valore medio così ottenuto può cambiare durante la stessa notte, prima di tutto per effetto della distanza zenitale del campo in osservazione e poi per variazioni casuali della trasparenza dovuti a veli, foschie, polveri. In quest'ultimo caso i valori di C non possono essere mediati fra loro ed i valori di magnitudine determinati nei periodi di loro variazione devono essere considerati con diffidenza, se non addirittura eliminati dai dati utili.

Le misure di una magnitudine stellare incognita

Note le costanti "stagionali" k, così definite perché di validità all'incirca stagionale, è necessario stabilire all'inizio di ogni serata osservativa il valore delle costanti "giornaliere" C. Si punta perciò una stella standard il più possibile vicina alla stella di magnitudine incognita e si determinano i valori di ADU nelle bande B e V           ( oppure i valori in tutte le altre bande necessarie ). Noti  k_b e k_v , determinati i valori locali delle magnitudini B_l e V_l ricavate dalla relazione :

X_l = -2.5 log (ADU)_x  ( X_l = B_l oppure V_l )

e note le magnitudini standard della stella B_s  e V_s dalle tabelle di Landolt, si entra con questi valori nelle equazioni :

B_s = B_l + C_b + k_b (B-V)

V_s = V_l + C_v + k_v (B-V)

e si esce con i valori di  C_b e C_v . Si ripetono le misure più volte, con tempo di posa costante e curando che l'altezza sull'orizzonte non muti sensibilmente, ottenendo diversi valori di  C_b e C_v . Il valore medio di ognuna viene tenuto come valore giornaliero ( salvo verificarlo più volte nella stessa notte e tenere conto di eventuali variazioni ). Se, ripetendo le misure, si rivela necessario cambiare il tempo di posa, si corregge mediante la relazione :

Dm_t= -2.5 log ( t₁ / t₂ )

dove  t₁ e t₂ sono il vecchio ed il nuovo tempo di posa. Se, durante la ripetizione delle misure, la stella cambia sensibilmente la sua distanza zenitale Z, si può correggere la stima mediante il valore :

Dm_a = ( secZ₁ / secZ₂ ) K_x

( K_B = 0.42; K_V = 0.22; K_R = 0.14; K_I = 0.10; K_Z = 0.10 )

Si passa quindi alla stella da misurare. Se si desidera operare in un solo colore ( per es. il V ) bisogna comunque effettuare le misure nei colori B e V in quanto solo così si può determinare l'indice di colore della stella, necessario per calcolare la sua magnitudine in qualsiasi banda, compresa quella V. Infatti l'equazione base data nel precedente paragrafo si trasforma nella seguente nel caso di una stella di magnitudine V_x sconosciuta (es.una variabile ):

V_x = V_l + C_v + k_v (B-V) + Dm_t + Dm_a

dove V_l = -2.5 log (ADU)_v della stella incognita, C_v  è il valore medio giornaliero appena discusso, k_v è la costante stagionale ben nota, ma (B-V) non è noto,    non essendo note né la magnitudine B né quella V per la stella incognita. In prima approssimazione si calcola un valore dell'indice di colore (B-V)' dalle magnitudine locali:

B_l = -2.5 log (ADU)_b

   V_l = -2.5 log (ADU)_v   

Poi, mediante l'equazione :

(B-V) = (B-V)' 1/(l + k_v - k_b ) + (CB-CV) 1/(l + k_v + k_b )

Si calcola il valore corretto di (B-V) della stella incognita. Sostituendolo nelle equazioni più volte viste si calcolano definitivamente i valori di B e V e. eventualmente, R e I .